Законы кирхгофа для электрической цепи примеры. Второй закон Кирхгофа. Применение законов Кирхгофа для расчета сложных цепей

Немецкий ученый Густав Кирхгоф наряду с другими исследованиями сформулировал основной закон, помогающий рассчитывать токи и напряжения в различных видах электрических цепей, который известен, как закон Кирхгофа.

История создания закона Кирхгофа

В середине 19-го века свойства различных электрических цепей активно исследовались с целью их дальнейшего применения на практике. К тому времени уже был совершен переход от простых цепей к более сложным и одним было уже не обойтись. Возникла необходимость в расчетах очень сложных и разветвленных цепей.

Именно Кирхгоф сформулировал основные правила, с помощью которых стало возможным рассчитывать цепи практически любой сложности.

Первый закон Кирхгофа

В первом законе рассматривается узел цепи, представляющий собой точку схождения или разветвления трех проводов и более. В этом случае количество поступающего и исходящего электрического тока в общей сумме каждого вида будет одинаково. Таким образом, соблюдается закон сохранения электрического заряда.

Например, при Т-образном узле сумма токов, поступающих по двум проводам, равна току, выходящему по третьему проводу. В противном случае, в узле постоянно происходило бы накопление электрических зарядов, чего, практически, никогда не случается.

Второй закон Кирхгофа

При сложной и разветвленной цепи, она мысленно разбивается на несколько обыкновенных замкнутых контуров. Распределение тока по этим контурам происходит различными путями. В этом случае, достаточно сложно определить маршрут протекания того или иного тока. В каждом контуре у электронов происходит либо приобретение дополнительной энергии, либо ее потеря из-за возникшего сопротивления. Таким образом, общая энергия электронов в каждом замкнутом контуре имеет нулевое значение. В противном случае, с физической точки зрения, происходило бы постоянное возрастание или убывание электрического тока.

Применение законов Кирхгофа

Законы Кирхгофа широко применяются в различных видах цепей, которые могут быть . Наиболее типичным примером последовательной цепи служит елочная гирлянда, где все лампочки соединяются в последовательную цепь. В такой цепи в соответствии с законом Ома напряжение постепенно падает. В параллельных цепях напряжение остается одинаковым, а сила тока каждого элемента напрямую зависит от его сопротивления. Определение токов, проходящих по каждому узлу таких цепей, производится в соответствии с первым законом Кирхгофа.

Расчет цепи по законам Кирхгофа

Густав-Роберт Киргоф, выдающийся немецкий физик и математик позапрошлого века, открыл и сформулировал два электротехнических закона, названных в его честь.

Открытия Кирхгоффа

При всей видимой простоте и понятности, законы Кирхгофа стали фундаментальными основами современной науки и базой для методов схематических расчетов. Их практическое значение трудно переоценить. Базой для научных изысканий профессора Кирхгофа стали законы сохранения заряда и энергии, открытые ранее. Некоторые специалисты считают, что правильнее называть описанные Кирхгоффом закономерности правилами, чтобы не путать их с другими замечательными открытиями этого физика, касающимися способностей тел излучать и поглощать энергию, а также зависимости скорости протекания химических реакций от температуры. Однако в научной и технической литературе принято все же пользоваться термином «закон Кирхгофа», тем самым подчеркивая заслуги этого великого ученого в области электротехники. Итак, их два.

1. Закон Кирхгофа о токах в узлах

Узлами в электротехнике называют точки соединения проводников в количестве не менее трех. Для того чтобы понять действие Первого закона Киргофа, достаточно представить себе обычный водопроводный тройник. Если в одну из труб подается вода, то в две остальные она вытекает. Возможен и другой вариант, когда отводная труба одна, а приточных две, но в любом случае, сколько воды в тройник затечет, столько же и вытечет. Теперь задачу можно усложнить, допустив, что количество входов и выходов в узле сколь угодно большое. Однако результат будет тот же, количество поступающей и уходящей жидкости будет равным, то есть, говоря языком математики, алгебраическая сумма расходов равна нулю. Первый закон Кирхгофа рассматривает электрические токи в узлах, которые ведут себя так же, как и вода в тройнике. Если есть входящие и выходящие токи, то их сумма с учетом знака будет нулевой. При этом величина входящих токов обозначается положительным знаком «плюс», а выходящих - отрицательным «минус». Математическая формула выглядит примерно так:

∑(I вх., … I вых.) = 0

где I вх. - величины входящих токов со знаком «+»;

I вых. - величины выходящих токов со знаком «-».

2. Закон Кирхгофа о сумме падений напряжений

Второй закон Кирхгофа понять несколько сложнее, у него нет столь прямых и наглядных ассоциаций как у первого, тем не менее, он тоже несложен. Для начала следует представить себе замкнутую простейшую электрическую цепь, состоящую из и активной нагрузки в виде сопротивления. При замыкании клемм выключателя через резистор пойдет ток, и все подаваемое напряжение на нем же упадет. Задача вновь усложняется, и количество сопротивлений изменяется. Теперь их много, и у всех разная величина. При прохождении через них электрического тока он будет в цепи одинаковым и, согласно закону Ома, равен напряжению источника, поделенному на сумму всех сопротивлений. На каждом из них будет падать его часть. Так вот, Второй закон Кирхгофа гласит, что общая сумма падений напряжений на каждом из участков цепи равна величине напряжения питания. Говоря иными словами, общая алгебраическая сумма вместе с источником равна нулю.

Простейшая математическая формула описывает Второй закон Кирхгофа следующим образом:

где U ц - падения напряжений на разных участках замкнутой электрической цепи (контура).

Который мы уже рассматривали ранее, поэтому я сперва дам общую формулировку, а потом мы постараемся аккуратно разобраться во всем этом деле.

Итак, второй закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма ЭДС, действующих в контуре равна алгебраической сумме падений напряжения в ветвях контура. Может быть сложновато для восприятия, если вы читаете это в первый раз, не спорю. Но сейчас попробуем разобраться более детально во всем этом. Для начала давайте определим, что же такое контур электрической цепи, где эти самые ЭДС действуют. Пожалуй, это тот случай, когда проще нарисовать картинку, чем объяснять словами. Взглянем на рисунок 1.

Рисунок 1 - Контура в схеме

На нем мы можем видеть три контура: я обозначил их красным, оранжевым и синим цветами. То есть контур - это некоторая замкнутая часть электрической цепи, состоящая из нескольких ветвей.

То есть что говорит второй закон Кирхгофа? У нас есть большая и сложная электрическая схема. В ней много различных контуров. Будем рассматривать подробно один из этих контуров, любой на выбор. И вот если мы в этом контуре сложим ЭДС всех источников, какие там есть, то их сумма будет равна сумме падений напряжения на всех сопротивлениях этого контура. И это верно для любого контура в нашей схеме. Довольно интересный факт. И если про первый закон Кирхгофа можно говорить, что он интуитивно очевиден, то здесь, вообще говоря, это не совсем так. А поскольку он не очевиден на первый взгляд, тем больше поводов показать его верность математически.

Господа, прошу обратить внимание на рисунок 2. На нем изображен один из контуров какой-то сложной электрической схемы.

Рисунок 2 - Контур схемы

Почему он именно такой, можете вы спросить? Да просто так! Я рисовал его так, как подскажет фантазия в тот момент. Вы можете смело заявить, что ваша фантазия лучше и нарисовать какой-либо другой контур с другими компонентами. Потом повторите все действия, которые я буду производить над этим контуром, и в конечном счете у вас должен получиться точно такой же результат, как и у меня.

Первым делом давайте зададимся направлением обхода контура . Это некоторое направление в контуре, которое мы принимаем за положительное. Можно в какой-то степени назвать это аналогом осей координат в математике. Направление обхода контура у нас по часовой стрелке, и я показал его синей стрелочкой на рисунке 2.

Следующим шагом нам надо расставить предполагаемое направление токов в каждой ветви. Тут опять же все целиком отдается вашей фантазии. На данном этапе можно рисовать любое направление токов. Если мы угадали - отлично, если нет - в конце всех расчетов получим ток с другим знаком. Я расставил на рисунке 2 все токи черными стрелками и рядом с ними подписал их величины (I 1 …I 4).

А теперь внимание, господа. Пришло время вспомнить то выражение, ради получения которого я написал . На всякий случай, если вдруг кто забыл, напоминаю его

Оно означает, что если потенциалы на концах ветви равны φ 1 и φ 2 , то их разность равна ЭДС источника в ветви минус произведение тока в ветви на сопротивление в ветви.

Применим это выражение для каждой ветви нашего контура, изображенного на рисунке 2. Поскольку у нас в контуре четыре ветви, то всего мы получим четыре уравнения. Резонный вопрос - а как быть со знаками при записи этих уравнений? Правила тут два.

• Если направление работы источника напряжения совпадает с направлением обхода контура, то берем его со знаком плюс. Если не совпадает - со знаком минус. Совсем просто: если стрелка в источнике напряжения совпадает со стрелкой обхода, то Е в уравнении пишется без изменения знака, если стрелки в разные стороны - то надо поставить минус перед E .
• Если направление тока, которое мы сами выбрали чуть раньше, совпадает с направлением обхода, то в нашем уравнении перед произведением тока на сопротивление так и остается знак минус. Если они направлены в разные стороны, то знак минус меняем на плюс.

Пользуясь этими простыми правилами, запишем уравнения для каждой ветви.

Очевидно, что если в цепи нет источника ЭДС, то у нас не будет первого слагаемого в правой части. А если нет сопротивления, то не будет второго слагаемого в правой части. Собственно, это и видно из составленных уравнений.

Господа, надеюсь вы помните, что с уравнениями в одной системе можно творить всякие интересные штуки? Например, можно все их сложить между собой (правые и левые части). Легко заметить, что при сложении всех этих четырех уравнений в левой части будет нолик, то есть все потенциалы волшебным образом самоликвидируются. Сделаем это! Получим

А теперь давайте перенесем все слагаемые с ЭДС в одну сторону, а с током и сопротивлением - в другую. Имеем

А имеем мы, собственно, второй закон Кирхгофа . Все честно, как я и писал в начале - алгебраическая сумма ЭДС, действующих в контуре равна алгебраической сумме падений напряжения в ветвях контура. Надеюсь, господа, после статьи про закон Ома у вас не возникает вопросов, почему произведение тока на сопротивление - это падение напряжения на сопротивлении? Если возникает - срочно, очень срочно, прямо сейчас пройдитесь по этой ссылке и разрешите эти вопросы!

А что же все-таки тут понимается под словом алгебраическая сумма? Это словосочетание нам уже встречалось. Это значит, что складывать надо с учетом знака. А как выбирать правильно этот самый знак? Господа, взгляните еще разок на рисунок 2. Там у нас задано направление обхода контура и направление токов. Все это мы выбирали (я бы даже сказал придумывали) сами. Ну и направление работы источника еще видно по его графическому изображению.

Так вот, если направление работы источника ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то мы ему приписываем знак плюс, а если не совпадает - минус. Аналогично и для правой части. Если направление тока совпадет с направлением обхода, то мы пишем произведение тока на сопротивление со знаком плюс. Иначе - со знаком минус.

Специально для труЪ-математиков привожу запись второго закона Кирхгофа с использованием хитрых значков суммирования. Вне всякого сомнения, если вы будете использовать эту запись, то произведете впечатление человека, который шарит в теме!

Здесь у нас N источников c ЭДС E i и M ветвей с сопротивлениями R j и токами I j . Разумеется, суммирование идет все так же с учетом знаков.

Может возникнуть резонный вопрос: «Как же так? Получается, я сам все придумываю: и направление обхода, и направление токов и это значит, что знак может получиться любой. Поверну стрелку тока в другую сторону и сразу знак у слагаемого поменяется! Но ведь в реальной схеме токи всегда текут в своем направлении вне зависимости от того, что я там нарисую на листочке! Какое-то противоречие!» Господа, вопрос весьма справедливый. Но предлагаю разобраться в нем в следующей статье. Сохраним некоторую интригу на текущий момент, как принято во всяких этих сериальчиках . А сейчас - спасибо, что прочитали статью, огромной вам всем удачи, и пока!

Вступайте в нашу

Электрические цепи постоянного тока

Задание 1

Для заданной электрической схемы по заданным сопротивлениям и ЭДС (табл. 1.1) выполнить следующее:

1) составить систему уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам Кирхгофа;

2) найти токи во всех ветвях цепи, пользуясь методом контурных токов;

3) проверить правильность расчета токов в ветвях электрической цепи с помощью баланса мощностей;

Вари-ант

Рис.

Е 1 , В

Е 2 , В

Е 3 , В

r 01 , Ом

r 02 , Ом

r 03 , Ом

r 1 , Ом

r 2 , Ом

r 3 , Ом

r 4 , Ом

r 5 , Ом

r 6 , Ом

1.53

0,6

1,2

0,1

3,4

3,8

4,3

Применение законов Кирхгофа для расчета электрических цепей

Для анализа и расчета электрических цепей пользуются законами Кирхгофа, которые устанавливают соотношения между токами ветвей, сходящихся в узлах, и напряжениями элементов, входящих в контуры. Для определения токов и напряжений необходимо составить уравнения цепи с помощью первого и второго законов Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа, вытекающий из закона сохранения заряда:

алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю:

ΣI=0. (1.1)

Алгебраическое суммирование осуществляется с учетом направления токов: токи, входящие в узел, считаем положительными, а токи, выходящие из узла - отрицательными.

Второй закон Кирхгофа вытекает из закона сохранения энергии:

алгебраическая сумма падений напряжений в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре:

ΣIR=ΣE. (1.2)

Суммирование падений напряжений и ЭДС производится с учетом их направлений и выбранного направления обхода контура. Если направление ЭДС и падение напряжения совпадают с направлением обхода контура, то они входят в уравнение (1.2) со знаком плюс, в противном случае – со знаком минус.

Метод анализа и расчета электрических цепей на основе первого и второго законов Кирхгофа выполняется в следующем порядке:

устанавливается число ветвей и узлов в расчетной цепи;

выбираются произвольно условно-положительные направления токов в ветвях и обозначаются на схеме;

выбираются произвольно положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа (целесообразно для всех контуров направления обхода выбирать одинаковыми);

составляется система из m уравнений по первому и второму законам Кирхгофа, где m - количество неизвестных токов, равное количеству ветвей.

По первому закону Кирхгофа можно составить (n-1) независимых уравнений, где n - количество узлов цепи. Остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, т.е. контуров, отличающихся хотя бы одной новой ветвью, не вошедшей в предыдущие контуры.

Пример 1.1. В качестве примера составим систему уравнений для определения токов в электрической цепи, схема которой изображена на рисунке 1.1,а. Здесь известны сопротивления, величины и направления ЭДС.

Данная цепь имеет шесть ветвей (m=6) с неизвестными токами и четыре узла (n=4). Необходимо составить шесть уравнений. Выбираем произвольно положительные направления токов в ветвях и положительные направления обхода независимых контуров (по часовой стрелке) (рис, 1.1, б). Чтобы получить линейно независимые уравнения по первому закону Кирхгофа составим три уравнения (n-1=3), а остальные уравнения: m-(n-1)=3, по второму закону Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа:

- для узла 1 , (1.3)

Закон Ома:

т.е. ток I , протекающий по участку цепи, будет равен напряжению на этом участке U (или разности потенциалов на концах рассматриваемого участка с учетом знака ) деленному на сопротивление участка R . Закон можно записать и как U=I×R . Найденную из этого равенства величину U называют падением напряжения на участке цепи с сопротивлением R , через который протекает ток I .

В общем случае (при наличии источников ЭДС)

например, для участка цепи

Первый закон Кирхгофа :алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю , т.е. .

При составлении уравнений пользуются правилом: если ток входит в узел, то его в уравнение подставляют со знаком «+», если выходит - «-»:

,

то есть сумма токов приходящих к узлу цепи равна сумме токов уходящих из узла.

Второй закон Кирхгофа : алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжений на сопротивлениях этого контура:

В качестве примера рассмотрим цепь, схема которой приведена на рис. 4. Схема цепи содержит 6 ветвей (m=6) и 4 узла: a, b, c, d (n=4). По каждой ветви проходит свой ток, следовательно, число неизвестных токов равно числу ветвей, и для определения токов необходимо составить m уравнений. При этом по первому закону Кирхгофа (1.3) составляют уравнения для (n–1) узлов. Недостающие m–(n–1) уравнения получают по второму закону Кирхгофа (1.4), составляя их для m–(n–1) взаимно независимых контуров. Рекомендуется выполнять операции расчета в определенной последовательности.

1. Обозначение токов во всех ветвях. Направление токов выбираем произвольно, но в цепях с источниками ЭДС рекомендуется, чтобы направление токов совпадало с направлением ЭДС.

2. Составление уравнений по первому закону Кирхгофа. Выбираем 4–1=3 узла (a, b, c) и для них записываем уравнения:

узел a: I 1 - I 2 - I 3 = 0;

узел b: I 2 - I 4 + I 5 = 0;

узел c: I 4 - I 5 + I 6 = 0.

3. Составление уравнений по второму закону Кирхгофа. Необходимо составить 6–3=3 уравнения. В схеме на рис. 4 выбираем контура I, II, III и для них записываем уравнения:

контур I: E 1 = I 1 (r 01 + R 1) + I 3 R 3 ;

контур II: 0 = I 2 R 2 + I 4 R 4 + I 6 R 7 - I 3 R 3 ;

контур III: -E 2 = -I 5 (r 02 + R 5 + R 6) - I 4 R 4 .

4. Решение полученной системы уравнений и анализ результатов. Полученная система из шести уравнений решается известными математическими методами. Если в результате расчетов численное значение тока получено со знаком «минус», это означает, что реальное направление тока данной ветви противоположно принятому в начале расчета. Если в ветвях с ЭДС токи совпадают по направлению с ЭДС, то данные элементы работают в режиме источников, отдавая энергию в схему. В тех ветвях, где направления тока и ЭДС не совпадают, источники ЭДС работает в режиме потребителя.

5. Проверка правильности расчетов. Для проверки правильности произведенных расчетов можно на основании законов Кирхгофа написать уравнения для узлов и контуров схемы, которые не использовались при составлении исходной системы уравнений:

узел d: I 3 + I 6 - I 1 = 0

внешнийконтурсхемы: E 1 - E 2 = I 1 (r 01 + R 1) + I 2 R 2 - I 5 (r 02 + R 5 +R 6) +I 6 R 7 .

Уравнения составляют в следующей последовательности:

− произвольно выбираем направление токов ветвях (направления токов обозначены стрелками);

− составляем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов. Количество уравнений n должно быть равно количеству узлов m без одного (n=m -1). Например, для верхнего узла:

;

− произвольно задаемся направлением обхода контуров (например, против часовой стрелки);

− составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для независимых контуров. При составлении пользуются правилами: если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то в уравнение она подставляется со знаком «+», в противном случае с «-»; если направление тока в сопротивлении совпадает с направлением обхода контура, то падение напряжения подставляется со знаком «+», в противном случае со знаком «-».

Баланс мощностей

Мощность, определяющая непроизводительный расход энергии, например, на тепловые потери в источнике, называется мощностью потерь.

По закону сохранения энергии мощность источника равна сумме мощностей потребителей и потерь.

Это выражение представляет собой баланс мощности электрической цепи.

Для рассмотренной выше схемы независимой проверкой является составление уравнения баланса мощностей с учетом режимов работы элементов схемы с ЭДС:

Если активная мощность, поставляемая источниками питания, равна по величине активной мощности, израсходованной в пассивных элементах электрической цепи, то правильность расчетов подтверждена.

7. Методы расчёта сложных разветвлённых цепей постоянного тока. Взаимное преобразование схем соединений треугольником и звездой пассивных элементов цепи

Методы расчёта сложных разветвлённых цепей постоянного тока:

1. С помощью уравнений электрического состояния (1 и 2 законы Кирхгофа)

2. Метод наложения

Используется для линейной электрической цепи. Заключается в том, что если цепь подвергается воздействию нескольких источников ЭДС одновременно, то реакция (ток) цепи на эти источники будет равна алгебраической сумме реакций (токов) на каждое воздействие отдельно.

3. Метод контурных токов

В качестве промежуточных переменных выбирают токи, замыкающиеся в каждом контуре и их называют контурными токами. Метод выгоден тогда, когда

4. Метод узлового напряжения

Если цепь имеет 2 узла или путем не сложных преобразований может быть приведена к 2 узлам, то используется метод узлового напряжения.

5. Метод эквивалентного источника

Суть метода эквивалентного генератора состоит в нахождении тока в одной выделенной ветви, при этом остальная часть сложной электрической цепи заменяется эквивалентным ЭДС Е экв, с её внутренним сопротивлением r экв. При этом часть цепи, в которую входит источник ЭДС называют эквивалентным генератором или активным двухполюсником, откуда и название метода.

Электрические цепи однофазного переменного тока. Переменные ЭДС, напряжения и токи. Цепи синусоидального тока. Основные характеристики синусоидальных электрических величин. Мгновенное, амплитудное и действующее значения. Среднее значение синусоидальной величины.

Переменным называется ток, который изменяется в течение времени по величине или направлению. Переменный ток получил преимущественное распространение в промышленности, что связано с его преимуществами перед постоянным током:

− легко повышается и понижается напряжение с помощью трансформаторов;

− генераторы и двигатели переменного тока проще по устройству, в эксплуатации, надежней и дешевле;

− переменный ток удобнее вырабатывать на электростанциях;

− многие физические явления проявляются только при переменном токе.

− В электрических цепях переменного тока наиболее часто используют синусоидальную форму, характеризующуюся тем, что все токи и напряжения являются синусоидальными функциями времени. Синусоидальная форма тока и напряжения позволяет производить точный расчет электрических цепей с использованием метода комплексных чисел и приближенный расчет на основе метода векторных диаграмм.

Недостатки: в цепях питания потребителей таким током могут происходить перегрузки, вызванные реактивной мощностью потребителей (когда в цепи питания присутствуют индуктивности или емкости); переменный ток приводит к образованию переменных электромагнитных полей, воздействующих на работу различной радиоаппаратуры и др.

Мгновенное значение (ЭДС или напряжения или тока) - значение величины в данный момент времени.обозначается чаще всего маленькими буквами: e, u,i.

Амплитудное значение (ЭДС или напряжения или тока) - максимальное значение.